Övning 3: För f(x,y) = xe^y, beräkna den totala differentialen vid (2,0)

f(x,y) = xe^y fx = e^y, fy = xe^y Vid (2,0): fx(2,0) = e^0 = 1, fy(2,0) = 2e^0 = 2 dz = fx dx + fy dy = 1·dx + 2·dy = dx + 2dy Svar: dz = dx + 2dy

Medel

Tangentplan och linjär approximation

Tangentplan till ytor och linjär approximation av funktioner.

tangentplan linjär approximation differential närma

Minns du hur tangentlinjer approximerade kurvor nära en punkt i enkla variablers analys? Nu tar vi detta koncept till nästa dimension! Istället för tangentlinjer till kurvor har vi tangentplan till ytor. Det är som att lägga ett platt papper på en krökt yta - nära kontaktpunkten är pappret en utmärkt approximation av ytan, men ju längre bort vi kommer, desto sämre blir approximationen.

Fördjupning

Tangentplanet till en yta z = f(x,y) vid en punkt är det unika plan som 'bäst' approximerar ytan nära den punkten. Detta plan definieras av de partiella derivatorna och ger oss linjära approximationer - det flervariabla motsvarigheten till tangentlinjer. Denna teknik är fundamental för optimering, felanalys och numeriska metoder.

Tangentplanets ekvation

Tangentplanet till ytan z = f(x,y) vid punkten (a,b,f(a,b)) har ekvationen som involverar de partiella derivatorna vid denna punkt.

z = f(a,b) + fx(a,b)(x-a) + fy(a,b)(y-b)

Visualisering av tangentplan som rör ytan i en punkt

Linjär approximation

Den linjära approximationen L(x,y) av f(x,y) nära (a,b) är samma som tangentplanets ekvation. Den ger oss det bästa linjära estimatet av funktionsvärdet nära punkten.

L(x,y) = f(a,b) + \nablaf(a,b) \cdot (x-a, y-b)

Praktisk användning

f(x,y) = x² + y² vid (1,1): L(x,y) = 2 + 2(x-1) + 2(y-1) = 2x + 2y - 2

Totala differentialen

Totala differentialen dz beskriver den approximativa förändringen i z när x och y förändras med små mängder dx och dy.

dz = (\partialf/\partialx)dx + (\partialf/\partialy)dy

Feluppskattning

Om mätningar har fel dx och dy, så är felet i f ungefär |∂f/∂x|dx + |∂f/∂y|dy

Geometrisk tolkning

Tangentplanet är unikt bestämt av att det innehåller alla tangentlinjer till kurvor på ytan som går genom den givna punkten.

Tangentplanet som union av alla tangentlinjer

Normalvektor

Vektorn (-fx, -fy, 1) är normal till tangentplanet

Vanliga misstag

❌ Glömma att evaluera partiella derivator vid rätt punkt

fx(a,b) och fy(a,b) måste beräknas specifikt vid punkten (a,b), inte som allmänna uttryck

Exempel: För f(x,y) = x²y vid (1,2): använd fx(1,2) = 4, inte fx = 2xy

❌ Förväxla tangentplanets ekvation med nivåkurvor

Tangentplanet är ett 3D-plan, nivåkurvor är 2D-kurvor i xy-planet

Exempel: z = 5 + 2(x-1) + 3(y-2) är ett plan, inte en kurva

❌ Använda linjär approximation för stora förändringar

Linjär approximation är bara bra nära punkten - felaktigheten ökar kvadratiskt med avståndet

Exempel: L(x,y) approximerar f(x,y) bra när |(x,y) - (a,b)| är liten

Tillämpningar

Ingenjörsvetenskap - Felanalys

Uppskatta hur mätfel propagerar genom beräkningar

Exempel: Om längd och bredd mäts med fel ±0.1, vad blir felet i arean?

Ekonomi - Känslighetsanalys

Hur påverkas vinst av små förändringar i pris och volym?

Exempel: Marginella effekter av olika ekonomiska faktorer

Fysik - Approximationer

Linjärisering av icke-linjära system nära jämviktspunkter

Exempel: Pendel med små utslag: sin θ ≈ θ

Datorgrafik - Belysningsmodeller

Tangentplan används för att beräkna ljusreflektion på ytor

Exempel: Phong shading model använder ytans normalvektor

Övningar

1 Lätt

Hitta tangentplanets ekvation till z = x² + y² vid punkten (1, 2, 5)

Tips

Beräkna partiella derivator och använd tangentplansformeln

Visa facit

f(x,y) = x² + y², punkt (1, 2, 5)
∂f/∂x = 2x, ∂f/∂y = 2y
Vid (1,2): fx(1,2) = 2, fy(1,2) = 4
Tangentplanets ekvation:
z = f(1,2) + fx(1,2)(x-1) + fy(1,2)(y-2)
z = 5 + 2(x-1) + 4(y-2)
z = 5 + 2x - 2 + 4y - 8 = 2x + 4y - 5

Svar: z = 2x + 4y - 5

2 Medel

Använd linjär approximation för att uppskatta √(3.98² + 4.02²)

Tips

Använd f(x,y) = √(x² + y²) vid punkten (4,4)

Visa facit

f(x,y) = √(x² + y²), approximera nära (4,4)
f(4,4) = √(16 + 16) = √32 = 4√2
fx = x/√(x² + y²), fy = y/√(x² + y²)
fx(4,4) = 4/(4√2) = 1/√2, fy(4,4) = 1/√2
L(x,y) = 4√2 + (1/√2)(x-4) + (1/√2)(y-4)
L(3.98, 4.02) = 4√2 + (1/√2)(-0.02) + (1/√2)(0.02)
= 4√2 + 0 = 4√2 ≈ 5.657

Svar: Approximativt 4√2 ≈ 5.657

3 Lätt

För f(x,y) = xe^y, beräkna den totala differentialen vid (2,0)

Tips

dz = fx dx + fy dy

Visa facit

f(x,y) = xe^y
fx = e^y, fy = xe^y
Vid (2,0): fx(2,0) = e^0 = 1, fy(2,0) = 2e^0 = 2
dz = fx dx + fy dy = 1·dx + 2·dy = dx + 2dy

Svar: dz = dx + 2dy

4 Medel

En cylindrisk burk har radie r = 5 cm och höjd h = 10 cm. Om radien mäts med fel ±0.1 cm och höjden ±0.2 cm, uppskatta maximala felet i volymen.

Tips

V = πr²h, använd dV = (∂V/∂r)dr + (∂V/∂h)dh

Visa facit

V = πr²h, r = 5, h = 10
∂V/∂r = 2πrh, ∂V/∂h = πr²
Vid (5,10): ∂V/∂r = 2π(5)(10) = 100π
∂V/∂h = π(5)² = 25π
För maximalt fel: |dV| ≤ |∂V/∂r||dr| + |∂V/∂h||dh|
|dV| ≤ 100π(0.1) + 25π(0.2) = 10π + 5π = 15π cm³

Svar: Maximalt fel: 15π ≈ 47.1 cm³

5 Medel

Hitta normalvektorn till ytan z = x² - y² + 3xy vid punkten (1,1,3)

Tips

Normalvektorn till z = f(x,y) är (-fx, -fy, 1)

Visa facit

f(x,y) = x² - y² + 3xy
fx = 2x + 3y, fy = -2y + 3x
Vid (1,1): fx(1,1) = 2 + 3 = 5, fy(1,1) = -2 + 3 = 1
Normalvektorn är n = (-fx, -fy, 1) = (-5, -1, 1)
Alternativt kan vi normalisera: |n| = √(25 + 1 + 1) = √27 = 3√3
Enhetsnomalvektor: û = (-5, -1, 1)/(3√3)

Svar: Normalvektor: (-5, -1, 1)

Sammanfattning

Tangentplan ger linjära approximationer av ytor, precis som tangentlinjer för kurvor. Ekvationen z = f(a,b) + fx(a,b)(x-a) + fy(a,b)(y-b) ger den bästa linjära approximationen nära (a,b). Totala differentialen dz = fx dx + fy dy är kraftfull för felanalys och approximationer.