Web Analytics

Formler

Alla viktiga formler för flervariabelanalys samlade på ett ställe. Perfekt att ha som referens under studier och tentamen.

Partiella derivator

Definition partiell derivata

∂f/∂x = lim_{h→0} [f(x+h,y) - f(x,y)]/h

Partiell derivata med avseende på x, håll y konstant

Gradient

∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)

Gradienten är vektorn av alla partiella derivator

Riktningsderivata

D_u f = ∇f · u

Derivatan i riktning u (enhetsvektor)

Kedjeregeln

dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)

Kedjeregeln för funktioner av flera variabler

Andra ordningens derivator

∂²f/∂x² = f_xx, ∂²f/∂x∂y = f_xy

Andra ordningens partiella derivator och blandade derivator

Hessematris

H = [f_xx f_xy; f_yx f_yy]

Matrisen av andra ordningens partiella derivator

Tangentplan

z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)

Ekvationen för tangentplanet till en yta

Laplace-operator

∇²f = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y²

Summan av andra ordningens partiella derivator

Extremvärden och optimering

Kritiska punkter

∇f = 0 eller ∇f ej definierad

Punkter där gradienten är noll eller ej definierad

Andra ordningens test

D = f_xx f_yy - (f_xy)²

Determinant för att klassificera kritiska punkter

Lagranges multiplikatorer

∇f = λ∇g

Metod för optimering med bivillkor g(x,y) = 0

Bivillkor med två begränsningar

∇f = λ₁∇g₁ + λ₂∇g₂

Lagrange med flera bivillkor

Koordinattransformationer

Polära koordinater

x = r cos θ, y = r sin θ

Transformation mellan kartesiska och polära koordinater

Cylindriska koordinater

x = r cos θ, y = r sin θ, z = z

3D-extension av polära koordinater

Sfäriska koordinater

x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ

Sfäriska koordinater för 3D-rum

Jakobideterminant

J = |∂(x,y)/∂(u,v)|

Determinant för variabelbyte i integraler

Flerdubbla integraler

Dubbelintegral

∬_R f(x,y) dA = ∫∫ f(x,y) dx dy

Integral över ett område i planet

Itererad integral

∫_a^b ∫_c^d f(x,y) dy dx

Beräkning av dubbelintegral som upprepade integraler

Dubbelintegral i polära koordinater

∬_R f(r cos θ, r sin θ) r dr dθ

Dubbelintegral med jakobifaktorn r

Trippelintegral

∭_V f(x,y,z) dV

Integral över ett område i rymden

Trippelintegral i cylindriska koordinater

∭_V f(r,θ,z) r dr dθ dz

Trippelintegral med jakobifaktorn r

Trippelintegral i sfäriska koordinater

∭_V f(ρ,φ,θ) ρ² sin φ dρ dφ dθ

Trippelintegral med jakobifaktorn ρ² sin φ

Volym med dubbelintegral

V = ∬_R f(x,y) dA

Volym under en yta beräknas med dubbelintegral

Medelvärde

f̄ = (1/A(R)) ∬_R f(x,y) dA

Medelvärdet av en funktion över ett område

Vektoranalys

Vektorfält

F(x,y) = P(x,y)i + Q(x,y)j

Definition av vektorfält i planet

Divergens

div F = ∇ · F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y

Divergensen mäter källstyrka i vektorfältet

Rotation (curl)

curl F = ∇ × F = ∂Q/∂x - ∂P/∂y

Rotationen mäter virvlingstendensen

Linjeintegral

∫_C F · dr = ∫_C P dx + Q dy

Integral av vektorfält längs en kurva

Greens sats

∮_C P dx + Q dy = ∬_R (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA

Kopplar linjeintegral med dubbelintegral

Konservativt fält

F = ∇f ⟺ ∂P/∂y = ∂Q/∂x

Villkor för att vektorfält ska vara konservativt

Ytintegral

∬_S F · n dS

Flöde av vektorfält genom en yta

Divergenssatsen

∬_S F · n dS = ∭_V ∇ · F dV

Gauss sats: kopplar ytintegral med volymintegral

Tips för att använda formlerna

Visualisera i 3D

Flervariabelanalys handlar om funktioner och fält i rymden. Försök alltid att visualisera grafiskt: funktioner som ytor, vektorfält som pilar, nivåkurvor etc.

Partiella derivator systematiskt

Vid beräkning av partiella derivator: håll alla andra variabler konstanta och derivera som vanligt med avseende på den aktuella variabeln.

Välj rätt koordinatsystem

För cirkulära områden: använd polära koordinater. För cylindriska områden: cylindriska koordinater. För sfäriska områden: sfäriska koordinater.

Jakobideterminanten

Glöm aldrig jakobifaktorn vid koordinattransformationer: r för polära, r för cylindriska, ρ² sin φ för sfäriska koordinater.

Kontrollera orienteringen

Vid användning av Greens sats och Stokes sats: kontrollera att kurvan är orienterad moturs (positiv orientering) relativt det inneslutet området.

Symmetri som verktyg

Utnyttja symmetrier för att förenkla beräkningar. Om integranden är udda över ett symmetriskt område blir integralen noll.