Äntligen får vi börja derivera igen! Men nu blir det ännu mer spännande eftersom vi har flera variabler att jobba med. Partiella derivator är som att zooma in på hur funktionen förändras i endast EN riktning åt gången, medan vi håller alla andra variabler konstanta. Det är som att undersöka lutningen på en bergssluttning först åt norr, sedan åt öster, istället för den brantaste vägen uppför berget.
Fördjupning
Den partiella derivatan av f med avseende på x mäter hur snabbt f förändras när x förändras, medan y hålls konstant. Geometriskt representerar den lutningen på tangentlinjen till kurvan som erhålls när vi 'skär' ytan z = f(x,y) med ett plan parallellt med xz-planet. Detta ger oss kraftfulla verktyg för att förstå hur komplexa system beter sig.
Definition av partiell derivata
Den partiella derivatan av f(x,y) med avseende på x betecknas ∂f/∂x och definieras som vanlig derivata när y behandlas som konstant.
![∂f/∂x = lim(h→0) [f(x+h,y) - f(x,y)]/h](/assets/bilder/ekvationer/ekv-partiell-derivata-definition.svg)
Grundläggande exempel
Om f(x,y) = x²y + 3xy², så är ∂f/∂x = 2xy + 3y² (behandla y som konstant)
Beräkning av partiella derivator
För att beräkna ∂f/∂x: behandla alla andra variabler som konstanter och derivera som vanligt med avseende på x. Samma teknik gäller för ∂f/∂y.
Steg-för-steg
f(x,y) = x³y² + sin(xy): ∂f/∂x = 3x²y² + y·cos(xy)
Geometrisk tolkning
∂f/∂x vid punkten (a,b) är lutningen på tangentlinjen till kurvan som fås när vi skär ytan z = f(x,y) med planet y = b.
Bergswandring
∂h/∂x berättar hur brant det är åt öster, ∂h/∂y hur brant det är åt norr
Högre ordningens partiella derivator
Vi kan derivera partiella derivator igen. ∂²f/∂x² är andra derivatan med avseende på x, medan ∂²f/∂x∂y är blandad derivata.
Schwarz sats
Om funktionen är 'snäll' så är fxy = fyx (ordningen av derivering spelar ingen roll)
Vanliga misstag
❌ Glömma att behandla andra variabler som konstanter
När du beräknar ∂f/∂x ska alla andra variabler behandlas som konstanter, inte som funktioner av x
❌ Förväxla ∂f/∂x∂y med ∂f/∂(xy)
∂²f/∂x∂y betyder först derivera med avseende på y, sedan x. Det är INTE derivatan med avseende på produkten xy
❌ Använda d istället för ∂ för partiella derivator
Symbolen d används för totala derivator (en variabel), ∂ för partiella derivator (flera variabler)
Tillämpningar
Fysik - Värmeutbredning
Partiella derivator beskriver hur temperatur förändras i olika riktningar
Ekonomi - Marginalanalys
Partiella derivator ger marginaleffekter av olika faktorer
Ingenjörsvetenskap - Optimering
Partiella derivator används för att hitta optimala designparametrar
Datavetenskap - Maskininlärning
Gradientspridning använder partiella derivator för att träna neurala nätverk
Övningar
Beräkna ∂f/∂x och ∂f/∂y för f(x,y) = x³y² + 2xy - y³
Tips
Behandla den andra variabeln som konstant när du deriverar
Visa facit
- För ∂f/∂x behandlar vi y som konstant:
- ∂f/∂x = ∂/∂x(x³y²) + ∂/∂x(2xy) - ∂/∂x(y³)
- = 3x²y² + 2y - 0 = 3x²y² + 2y
- För ∂f/∂y behandlar vi x som konstant:
- ∂f/∂y = ∂/∂y(x³y²) + ∂/∂y(2xy) - ∂/∂y(y³)
- = 2x³y + 2x - 3y² = 2x³y + 2x - 3y²
Svar: ∂f/∂x = 3x²y² + 2y, ∂f/∂y = 2x³y + 2x - 3y²
Hitta ∂f/∂x för f(x,y) = e^(xy) · sin(x²)
Tips
Använd produktregeln och kedjeregeln
Visa facit
- f(x,y) = e^(xy) · sin(x²)
- Använd produktregeln: ∂f/∂x = (∂/∂x e^(xy)) · sin(x²) + e^(xy) · (∂/∂x sin(x²))
- ∂/∂x e^(xy) = e^(xy) · y (kedjeregeln, y behandlas som konstant)
- ∂/∂x sin(x²) = cos(x²) · 2x (kedjeregeln)
- ∂f/∂x = y·e^(xy)·sin(x²) + e^(xy)·cos(x²)·2x
- = e^(xy)[y·sin(x²) + 2x·cos(x²)]
Svar: ∂f/∂x = e^(xy)[y·sin(x²) + 2x·cos(x²)]
Beräkna alla andra ordningens partiella derivator för f(x,y) = x²y - xy³
Tips
Börja med första ordningens derivator, derivera sedan dessa
Visa facit
- Först beräknar vi första ordningens derivator:
- ∂f/∂x = 2xy - y³
- ∂f/∂y = x² - 3xy²
- Nu andra ordningens:
- ∂²f/∂x² = ∂/∂x(2xy - y³) = 2y
- ∂²f/∂y² = ∂/∂y(x² - 3xy²) = -6xy
- ∂²f/∂x∂y = ∂/∂x(x² - 3xy²) = 2x - 3y²
- ∂²f/∂y∂x = ∂/∂y(2xy - y³) = 2x - 3y²
Svar: fxx = 2y, fyy = -6xy, fxy = fyx = 2x - 3y²
En metallplatta har temperatur T(x,y) = 100 - x² - 2y². Beräkna temperaturgradienten i punkt (1,2).
Tips
Gradienten består av båda partiella derivatorna
Visa facit
- T(x,y) = 100 - x² - 2y²
- ∂T/∂x = -2x
- ∂T/∂y = -4y
- I punkten (1,2):
- ∂T/∂x(1,2) = -2(1) = -2
- ∂T/∂y(1,2) = -4(2) = -8
- Gradienten är vektorn (-2, -8)
Svar: Gradient = (-2, -8)
Visa att f(x,y) = ln(x² + y²) satisfierar Laplaces ekvation ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² = 0 (för x² + y² ≠ 0)
Tips
Beräkna alla andra derivator och kontrollera att summan blir noll
Visa facit
- f(x,y) = ln(x² + y²)
- ∂f/∂x = (1/(x² + y²)) · 2x = 2x/(x² + y²)
- ∂f/∂y = (1/(x² + y²)) · 2y = 2y/(x² + y²)
- ∂²f/∂x² = ∂/∂x[2x/(x² + y²)] = [2(x² + y²) - 2x(2x)]/(x² + y²)² = 2(y² - x²)/(x² + y²)²
- ∂²f/∂y² = ∂/∂y[2y/(x² + y²)] = [2(x² + y²) - 2y(2y)]/(x² + y²)² = 2(x² - y²)/(x² + y²)²
- ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² = 2(y² - x²)/(x² + y²)² + 2(x² - y²)/(x² + y²)² = 0
Svar: Verifierat: ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² = 0
Sammanfattning
Partiella derivator mäter förändringshastighet i en riktning medan andra variabler hålls konstanta. De är grundläggande för analys av flervariabelfunktioner och har omfattande tillämpningar inom fysik, ekonomi och teknik. Kom ihåg att behandla andra variabler som konstanter och använd symbolen ∂ istället för d.